Pelurin virhepäätelmä
Uskomus, että tulos on ”vuorossa”, koska sitä ei ole tullut pitkään aikaan.
Kymmenen punaisen jälkeen mustan todennäköisyys on edelleen 18/37. Pyörä ei pidä kirjaa eikä ole kenellekään mitään velkaa.
Virhepäätelmä
Jos punainenpanosPunainenYksinkertainen panos (1:1) 18 punaiselle numerolle. Ranskaksi: rouge.Lue kokonaan → on tullut kymmenen kertaa, monet pelaajat tuntevat, että mustapanosMustaYksinkertainen panos (1:1) 18 mustalle numerolle. Ranskaksi: noir.Lue kokonaan → on ”vuorossa”, ja panostavat sen mukaan. Toiset taas kokevat punaisen olevan ”kuuma” ja panostavat siihen. Molemmat päättelevät jo päättyneestä sarjasta pyöräytykseen, jota ei ole vielä tapahtunut. KuulavälineetKuulaPieni kuula, joka lähetetään radalle roottorin pyörimissuuntaa vastaan. Nykyaikaiset kuulat ovat ivoriinia tai teflonia, 18–21 mm.Lue kokonaan → ei tiedä, mitä kymmenen edellistä pyöräytystä olivat; lokerotvälineetLokeroYksi roottorin 37 numeroidusta syvennyksestä. Myös: slot, cup.Lue kokonaan → ovat saman kokoisia kuin tunti sitten; mustan todennäköisyysmatematiikkaTodennäköisyysLuku, joka kertoo, kuinka odotettavissa lopputulos on, välillä 0–1 tai 0%–100%. Yksi numero: 1/37 = 2,70%.Lue kokonaan → on 18/37 kuten aina ennenkin.
Miksi se tuntuu todelta
Pitkällä aikavälillä punaisen ja mustan osuudet suppenevat kumpikin kohti lukua 18/37. Suurten lukujen lakimatematiikkaSuurten lukujen lakiRiippumattomien tulosten keskiarvo suppenee kohti odotusarvoa, kun toistojen määrä kasvaa.Lue kokonaan → takaa sen. Suppeneminen tapahtuu kuitenkin laimenemalla, ei korjaantumalla: 1 000 lisäpyöräytyksen jälkeen kymmenen ylimääräistä punaista on osuudessa pyöristysvirhe, ei siksi että musta olisi saanut kiinni, vaan koska otos on kasvanut. Mikään mekanismi ei tee mustasta todennäköisempää, eikä suurten lukujen laki sellaista vaadi.
Monte Carlo, 18. elokuuta 1913
Musta tuli 26 kertaa peräkkäin pöydässä Casino de Monte-Carlossa. Noin viidennentoista mustan jälkeen pelaajat ryntäsivät punaiselle, tuplasivat ja tuplasivat uudelleen, jokainen pyöräytys ”varmempi” kuin edellinen. Kasino voitti miljoonia frankkeja. Sarjan todennäköisyys oli yksi 137 miljoonasta ensimmäisestä mustasta lukien, ja todennäköisyys sille, että se tapahtuisi ennemmin tai myöhemmin jossakin päin maailman kasinoita, oli käytännössä yksi. Siksi pelurin virhepäätelmää kutsutaan myös Monte Carlon virhepäätelmäksi.
Ei mitenkään erikoista. Tapahtuu kerran 44:stä.
Pelaajat alkavat huomata. Punainen on ”vuorossa”.
Pöytä on täynnä. Punaisen panokset tuplataan jokaisen tappion jälkeen.
Omaisuuksia menetetty. Jokainen uusi musta saa punaisen tuntumaan varmemmalta.
Sarja päättyy. Kasino on voittanut miljoonia frankkeja ihmisiltä, jotka panostivat sarjaa vastaan, joka ei voinut ”tietää” olevansa sarja.
Kuuma käsi
Värille panostaminen siksi, että se on putkessa, on sama virhe toisin päin: putken odotetaan jatkuvan eikä päättyvän. Psykologit kutsuvat sitä kuumaksi kädeksimyyttiKuuma käsiUskomus, että voittojen tai yhden tuloksen sarja tekee seuraavasta samanlaisesta todennäköisemmän. Pyörän ääressä se on pelurin virhepäätelmä toisin päin käännettynä.Lue kokonaan → Gilovichin, Vallonen ja Tverskyn vuoden 1985 tutkimuksen mukaan; tutkimus etsi putkia koripallon heitoista eikä löytänyt niitä enempää kuin sattuma selittää. Vuonna 2018 Miller ja Sanjurjo osoittivat, että itse testi oli ollut vino: lyhyessä aineistossa osumien osuus heti osuman jälkeen jää keskimäärin pelaajan kokonaisosuutta pienemmäksi, joten pelaaja, jolla ei ole lainkaan kuumaa kättä, näyttää hieman kylmältä. Korjattuna samat aineistot osoittavat maltillisen kuuman käden. Ihminen voi lämmetä; pyörä ei voi olla vireessä. Jotkut pelaajat uskovat molempiin yhtä aikaa: putki jatkuu, kunnes se on ”liian pitkä”, ja päättyy sitten. Reilulla pyörällä jokaisen version odotusarvomatematiikkaOdotusarvoKeskimääräinen tulos panosta kohti pitkällä aikavälillä. Jokaisessa eurooppalaisen ruletin vakiopanoksessa −1/37 panoksesta.Lue kokonaan → on sama kuin värin valinnalla kolikkoa heittämällä: −2,70% panoksesta.
Oikeassa pöydässä
Croson ja Sundali (2005) kävivät läpi 18 tuntia valvontakameran kuvaa yhdestä kahden nollanpyöräNollaAinoa vihreä lokero, jota mikään yksinkertainen panos, tusinapanos tai sarakepanos ei kata; talon edun lähde. Myös: yksi nolla, 0.Lue kokonaan → pöydästä suuressa kasinossa Renossa: 139 pelaajaa ja 24 131 panosta. Yksinkertaisilla panoksillapanosYksinkertainen panos (1:1)Punainen/musta, pariton/parillinen, suuri/pieni. 18 numeroa, maksaa 1:1.Lue kokonaan → pelaajat jakautuivat suunnilleen tasan lyhyiden sarjojen seuraajiin ja vastustajiin. Viiden samanlaisen tuloksen sarjan jälkeen he kallistuivat sarjaa vastaan, ja kuuden tai useamman jälkeen 85% heidän panoksistaan oli toisella puolella. Samat pelaajat uskoivat kuumaan käteen omalla kohdallaan: numeropanoksilla voitettuaan he kattoivat seuraavassa pyöräytyksessä keskimäärin 13,6 numeroa, tappion jälkeen 9,2. Heidän pyörässään ei näkynyt merkkejä vinoumasta, joten mikään tästä ei muuttanut sitä, mitä kukaan heistä saattoi odottaa.
Kasinon ulkopuolella
Sama taipumus näkyy siellä, missä tehdään oikeita päätöksiä. Clotfelter ja Cook (1993) seurasivat Marylandin päivittäistä numeroarvontaa: numerolle panostettu raha väheni jyrkästi heti, kun numero oli arvottu, ja palautui vasta kuukausien kuluttua, vaikka arvonnalla ei ole muistia. Chen, Moskowitz ja Shue (2016) löysivät sen ammattilaisilta. Yhdysvaltain turvapaikka-asioita ratkaisevat tuomarit hylkäsivät hakemuksen jopa 3,3 prosenttiyksikköä todennäköisemmin, jos he olivat hyväksyneet edellisen. Baseballin kotipesätuomarit tuomitsivat striken 1,5 prosenttiyksikköä harvemmin, jos edellinenkin tuomio oli strike, ja tiukoissa heitoissa ero oli yli kaksinkertainen. Kenttäkokeessa, jossa lainavirkailijoille maksettiin kiinteä palkkio, jopa 9% päätöksistä kääntyi tällä tavalla. Tapaukset tulivat satunnaisessa järjestyksessä, joten edellinen päätös ei kertonut mitään seuraavasta, aivan kuten edellinen pyöräytys ei kerro mitään seuraavasta.
Käänteinen pelurin virhepäätelmä
Filosofi Ian Hacking (1987) nimesi kolmannen version. Joku astuu huoneeseen, näkee kahden nopan pysähtyvän kahdeksi kuutoseksi ja päättelee, että noppia on täytynyt heittää jo monta kertaa. Jokainen heitto tuottaa kaksi kuutosta yhtä todennäköisesti, oli se illan ensimmäinen tai tuhannes, joten näky ei kerro mitään siitä, kuinka kauan peli on jatkunut. Ruletissa se on pelaaja, joka tulee pöytään, jonka tulostaululla näkyy kahdeksan punaista, ja päättelee, että pyörää on täytynyt pyörittää tuntikausia, jotta ne syntyivät. Tavallinen virhepäätelmä lukee menneisyyden seuraavaan pyöräytykseen; tämä lukee harvinaisen näyn menneisyyteen, jota kukaan ei nähnyt.
Psykologi, joka uskoi siihen
Virhepäätelmällä on ollut oppineita puolustajia. Saksalainen psykologi Karl Marbe kävi läpi neljä syntymärekisteriä, joissa kussakin oli 49 152 syntymää, totesi, että pisin peräkkäisten poikien tai tyttöjen sarja oli 17, ja päätteli, että pitkät sarjat ovat harvinaisempia kuin sattuma sallii, joten sarja tekee toisesta tuloksesta todennäköisemmän. Pelkkä sattuma sanoo toisin: 196 608 syntymässä vähintään 17 syntymän sarja esiintyy noin neljä kertaa viidestä. Marbe oli löytänyt juuri sen, miltä satunnainen jono näyttää. Epstein (2013) kertoo tapauksen uudelleen; Putkien todennäköisyys -sivu antaa ruletin version.
Missä virhepäätelmä ei päde
Jos pyörä olisi fyysisesti vino, aiemmat pyöräytykset olisivat informatiivisia, koska ne olisivat todiste lokeroista eivätkä tuurista. Se on Rulettilaboratorion aihe, ja sen perusteella voi sanoa jotain vasta, kun yhdestä tunnistetusta pyörästä on tuhansia pyöräytyksiä. Kymmenen punaisen sarjassa tuntemattomalla pyörällä vinoumaselitys on paljon epätodennäköisempi kuin sattuma.
Kysymykset
Ei. Se koskee mitä tahansa riippumatonta toistuvaa tapahtumaa: noppia, kolikoita, arpajaisnumeroita.
Osuudet lähestyvät toisiaan. Tuloksesi on silti noin −2,70% siitä, minkä panostit.
Keskiarvojen lakia ei ole. On suurten lukujen laki, ja se toimii laimenemalla.
Laskemisen iloa
Kokeile ensin itse. Jokainen ratkaisu on piilotettu; avaa se, kun olet valmis.
10 heiton jälkeen kolikko on näyttänyt 7 kruunaa ja 3 klaavaa. 1 000 heiton jälkeen kruunia on 517 ja klaavoja 483. Saivatko klaavat kruunat kiinni?
Näytä ratkaisu
Vastaus Eivät. Ero kasvoi 4:stä 34:ään. Vain suhde lähestyi tasaista.
Kruunien ja klaavojen suhde laski luvusta 7/3, noin 2,33, lukuun 517/483, noin 1,07. Se on suurten lukujen lakimatematiikkaSuurten lukujen lakiRiippumattomien tulosten keskiarvo suppenee kohti odotusarvoa, kun toistojen määrä kasvaa.Lue kokonaan → toiminnassa.
Niiden välinen ero kasvoi, 4:stä 34:ään. Reilulla kolikolla noin 30:n ero 1 000 heiton jälkeen on tavallinen: tyypillinen ero kasvaa suunnilleen heittojen määrän neliöjuuren mukaan, kun taas suhde asettuu kohti lukua 1.
Mikään ei vetänyt klaavoja takaisin. Kruunien alkuvaiheen ylijäämä laimeni seuraavien 990 heiton joukkoon; sitä ei korjattu.
Heitä kolikkoa neljä kertaa ja katso vain heittoja, jotka tulevat heti kruunan jälkeen. Kuinka suuri osa niistä on kruunia? Laske osuus kullekin 16 mahdollisesta jonosta ja ota osuuksien keskiarvo. Onko se 50%?
Näytä ratkaisu
Vastaus Ei. Se on 17/42, noin 40,5%. Näin tarkasteltuna reilu kolikko näyttää kylmenevän kruunan jälkeen.
Luettele 16 jonoa (H = kruuna, T = klaava). Kahdessa niistä, TTTT ja TTTH, kolmen ensimmäisen heiton joukossa ei ole kruunaa, joten mikään heitto ei seuraa kruunaa; jäljelle jää 14.
Ota kustakin jonosta kruunaa seuraavat heitot ja laske, kuinka suuri osa niistä on kruunia. HHHH antaa 3/3. HHHT antaa 2/3. HTHT antaa 0/2. Kun kaikki 14 käydään läpi: kuusi jonoa antaa 0, neljä antaa 1/2, yksi antaa 2/3 ja kolme antaa 1 (HHHH, THHH ja TTHH).
Laske osuudet yhteen: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Jaa 14:llä: 17/42 ≈ 40,5%.
Mikään heitto ei suosi klaavaa; jokainen on 50–50. Vinouma syntyy siitä, että keskiarvo lasketaan jono kerrallaan: kruunia täynnä olevassa jonossa on monta tarkasteltavaa heittoa, mutta se lasketaan vain kerran, samoin kuin jono, jossa tarkasteltavia heittoja on yksi. Miller ja Sanjurjo (2018) osoittivat, että vuoden 1985 kuuman käden tutkimus oli mitannut koripalloilijoitaan juuri näin, joten pelaajat, jotka eivät näyttäneet sattumaa putkiherkemmiltä, olivat todellisuudessa olleet jonkin verran putkiherkempiä.
Kevennys
Laimeneminen, ei korjaantuminen. Pyörä ei ole kenellekään mitään velkaa.
Lähteet
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”