Kellyn kriteeri ja ruletti
Kellyn kriteeri kertoo edun omaavalle pelaajalle, kuinka suuri panos asetetaan. Rulettiin se antaa selvän vastauksen: ei mitään.
Kellyn panos = etu / vetosuhde. Negatiivisella edulla kaava palauttaa negatiivisen osuuden, mikä tarkoittaa: älä panosta. Kriteeri on silti hyödyllinen sen ymmärtämiseksi, miksi vinoumapelaajat mitoittivat panoksensa niin kuin mitoittivat, ja miksi kaikkien muiden pitäisi mitoittaa panos budjetin mukaan.
Kriteeri
John Kelly (1956) kysyi, miten tunnetun edun omaavan pelaajan pitäisi mitoittaa panokset maksimoidakseen pelikassanrahaPelikassaPelaamiseen varattu kokonaissumma. Pelikassan hallinta on sen päättämistä, kuinka suuri osa siitä pannaan alttiiksi yhdellä panoksella ja yhdellä pelikerralla.Lue kokonaan → pitkän aikavälin kasvun. Vastaus panokselle, joka maksaa b:1 ja jonka voiton todennäköisyysmatematiikkaTodennäköisyysLuku, joka kertoo, kuinka odotettavissa lopputulos on, välillä 0–1 tai 0%–100%. Yksi numero: 1/37 = 2,70%.Lue kokonaan → on p ja tappion todennäköisyys q = 1 − p, on panostaa pelikassan osuus f* = (bp − q) / b. Positiivinen f* tarkoittaa, että panostetaan tämä osuus; nolla tai negatiivinen tarkoittaa, ettei panosteta. Kelly työskenteli Bell Labsissa, ja hänen artikkelinsa ”A new interpretation of information rate” sijoitti ongelman Claude Shannonin informaatioteoriaan: pelaaja, joka saa vihjeitä kohinaisen linjan kautta reilulla vetosuhteella, voi kasvattaa pelikassaansa enintään sillä nopeudella, jolla linja välittää informaatiota. Vuonna 1961 Leo Breiman todisti, että Kellyn mukainen panostus päätyy pitkällä aikavälillä edelle jokaista olennaisesti erilaista strategiaa ja saavuttaa asetetun tavoitteen suunnilleen lyhimmässä mahdollisessa ajassa.
Sovellettuna ruletissa
PunaisellepanosPunainenYksinkertainen panos (1:1) 18 punaiselle numerolle. Ranskaksi: rouge.Lue kokonaan →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. NumeropanoksellepanosNumeropanos (straight up)Yksi numero, maksaa 35:1.Lue kokonaan →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Jokainen tavallinen panos antaa negatiivisen Kellyn osuuden, koska jokaisella panoksella on negatiivinen etu, ja kasvun kannalta optimaalinen panos on nolla. Kelly on muodollinen tapa sanoa se, mitä talon etu -sivu sanoo: ei ole sellaista panoksen kokoa, jolla negatiivisen odotusarvon panos kasvattaisi pelikassaa.
Missä Kelly päti
Vinoumapelaajilla oli etu ja mitoitusongelma. Jagger, García-Pelayot ja Eudaemons-ryhmä joutuivat kaikki päättämään, kuinka paljon panostaa mittaamansa edun varassa, ja liian pieni panos tuhlaa edun, kun taas liian suuri panos uhkaa vararikolla ennen kuin etu ehtii näkyä. LokerollevälineetLokeroYksi roottorin 37 numeroidusta syvennyksestä. Myös: slot, cup.Lue kokonaan →, joka osuu yhdellä 30:stä, Kelly sanoo 0,57% pelikassasta pyöräytystä kohti sillä numerolla: $10 000 pelikassalla noin $57 pyöräytykseltä, jolloin tyypillinen kasvu on noin 0,054% pyöräytystä kohti eli ×1,7 1 000 pyöräytyksessä. Keskimääräinen kasvu on kaksinkertainen, 0,11% pyöräytystä kohti, mutta Kelly tähtää tyypilliseen pelikassaan eikä keskimääräiseen, jota muutama onnekas sarja paisuttaa. Puolikas Kelly on tavallinen käytännön valinta, koska edun arvio on epävarma.
Tyypillinen ja keskimääräinen
Tyypillisen ja keskimääräisen pelikassan ero on suuri. Otetaan lokero, jonka osumatodennäköisyys on 1/25, eli etu on 44%, sama luku, jonka Thorp antaa laitteelleen. Kellyn mukaan sille panostetaan 1,26% pelikassasta. 1 000 pyöräytyksen jälkeen tyypillinen pelikassa on kasvanut noin 11,5-kertaiseksi, kun taas keskimääräinen, jota muutama hyvin onnekas sarja vetää ylöspäin, on kasvanut noin 249-kertaiseksi. Kellyä suurempi panos nostaa keskimääräistä ja laskee tyypillistä tulosta: kaksinkertaisella Kellyn panoksella tyypillinen pelikassa vain kaksinkertaistuu, ja kaksi ja puoli kertaa Kellyn panoksen suuruisella panoksella se jo kutistuu, vaikka jokaisella panoksella on yhä 44%:n etu. Pienempi panos maksaa vähän: puolikas panos säilyttää noin kolme neljäsosaa kasvusta.
Kun etu on arvaus
Kelly olettaa, että etu tunnetaan. Pöydässä se arvioidaan, ja arvio on yleensä liian suuri. Epsteinin esimerkki, joka perustuu Thorpin 44%:iin, on numero, joka osui 49 kertaa 1 225 pyöräytyksessä kahden nollanpyöräNollaAinoa vihreä lokero, jota mikään yksinkertainen panos, tusinapanos tai sarakepanos ei kata; talon edun lähde. Myös: yksi nolla, 0.Lue kokonaan → pyörässä: osumatiheys 1/25, 44%:n etu, Kellyn panos 1,26%. Reilussa kahden nollan pyörässä on kuitenkin 38 numeroa, ja niistä useimmin osuva saavuttaa 49 osumaa tai enemmän 1 225 pyöräytyksessä noin kerran yhdeksästä. Minkä tahansa tilaston useimmin osunut numero on myös se, jota onni on auttanut eniten, joten todella vinokin lokero näyttää tilastossa paremmalta kuin on: tämä on voittajan kirous. Jos lokero on todellisuudessa reilu, Kellyn panos on yksinkertaisesti panos, joka häviää keskimäärin 5,26%. Tavalliset vastaukset ovat panostaa vain osa Kellyn panoksesta ja jatkaa laskemista, kunnes etu säilyy myös uudessa tilastossa (ks. Miten pyörän vinouma havaitaan).
Pelaajat, joilla on etu
Edun tunteminen ei ole sama asia kuin sen hyvä käyttäminen. Haghani ja Dewey (2016) antoivat 61 ihmiselle $25 kullekin panostettavaksi puolen tunnin ajan kolikolla, jonka heille kerrottiin tulevan kruunalle 60% ajasta; voittojen yläraja oli $250 (pelaajat saivat tietää rajasta vasta saavuttaessaan sen). Kelly neuvoo panostamaan joka kerta 20% pelikassasta kruunalle, ja tekijöiden arvion mukaan tasaiset panokset, 10–20% pelikassasta, olisivat saavuttaneet ylärajan noin 95% ajasta. Pelaajista vain 21% pääsi sinne. Pelaajista 28% meni vararikkoon, 18 pelaajaa 61:stä panosti kaiken yhteen heittoon, noin kolmannes päätyi alle aloitussummansa $25, ja keskimääräinen voitonmaksurahaVoitonmaksuSe, mitä voittava panos tuottaa; ilmoitetaan muodossa ”X:1” palautetun panoksen lisäksi.Lue kokonaan → oli $91. Kellyn kriteeristä oli kuullut vain viisi kaikista 61 pelaajasta. Kun etu on olemassa, panosten koko ratkaisee, säilyykö se; ilman etua, kuten reilussa pyörässä, mikään koko ei auta.
Mitä käyttää sen sijaan
Ilman etua mitoitus on budjettikysymys, ei kasvukysymys: panos on se, minkä olet valmis kuluttamaan pyöräytystä kohti, johdettuna tuntibudjetista ja pöydän pelitahdista (pelikassan hallinta -sivu). Kellyn anti tavalliselle pelaajalle on sen vastauksen selkeys: nolla. Kaikki, minkä panostat yli nollan, on pelaamisen hinta, jonka sinä valitset, eikä mikään kaava optimoi sitä.
Huomautus osittaisesta Kellystä ja ”rahanhallinnasta”
Järjestelmät, joita myydään nimellä ”Kelly ruletille” ja jotka suosittelevat kiinteää prosenttia pelikassasta panosta kohti, ovat tasapanostustastrategiaTasapanostusSaman summan panostaminen joka pyöräytyksellä. Vertailukohta, johon jokaista progressiota verrataan.Lue kokonaan →, jossa panos pienenee. Ne häviävät 2,70% pelivaihdostarahaPelivaihtoPelikerran tai ajanjakson aikana panostettu kokonaissumma, uudelleen panostetut voitot mukaan lukien. Myös: handle, action.Lue kokonaan →, ja koska panos pienenee tappioiden myötä, ne tekevät vararikosta hitaan, ei epätodennäköisen. Se on järkevä tapa saada budjetti kestämään; se ei ole Kelly, joka sanoisi lopettamaan.
Kaava
Kysymykset
Vain, jos vinon pyöränlaboratorioVino pyöräPyörä, jonka fyysiset viat tekevät joistakin lokeroista todennäköisempiä kuin 1/37. Harvinainen, ja sen voi havaita vain tuhansista kirjatuista pyöräytyksistä.Lue kokonaan → tai ajoituslaitteen avulla on mitattu etu. Ei reilulla pyörällä.
Koska edun arviossa on virhe ja liiallinen panostaminen on kalliimpaa kuin liian pieni. Puolikas Kelly antaa kolme neljäsosaa kasvusta neljänneksellä varianssistamatematiikkaVarianssiMitta sille, kuinka laajalle tulokset hajoavat odotusarvon ympärille. Suuri numeropanoksessa, pieni yksinkertaisissa panoksissa.Lue kokonaan →.
Ei. Kelly optimoi kasvua, kun etu on olemassa. Pelikassan hallinta rajoittaa kulutusta, kun etua ei ole.
Laskemisen iloa
Kokeile ensin itse. Jokainen ratkaisu on piilotettu; avaa se, kun olet valmis.
Thorpin ja Shannonin ennustelaite antoi noin 44%:n edun. Yhdellä ennustetulla numerolla Kelly käskee panostamaan 1,26% pelikassastarahaPelikassaPelaamiseen varattu kokonaissumma. Pelikassan hallinta on sen päättämistä, kuinka suuri osa siitä pannaan alttiiksi yhdellä panoksella ja yhdellä pelikerralla.Lue kokonaan →. Entä jos sama 44%:n etu saataisiin yhdellä panoksella, joka on jaettu viidelle vierekkäiselle numerolle?
Näytä ratkaisu
Vastaus Silloin Kelly sanoo 7,1% pelikassasta, ja pelikassa kasvaa lähes kuusi kertaa nopeammin: noin 1,25-miljoonakertaiseksi 1 000 panoksessa, kun yhdellä numerolla se kasvaa noin 11,5-kertaiseksi.
Numeropanos (straight up)panosNumeropanos (straight up)Yksi numero, maksaa 35:1.Lue kokonaan →, jonka etu on 44%, voittaa todennäköisyydellä 0,04, koska 36 × 0,04 = 1,44. Kellyn panos on etu jaettuna vetosuhteella: 0,44/35 = 1,26%. Tyypillinen kasvu panosta kohti on 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, joten 1 000 panosta kertoo pelikassan noin luvulla e^2,44 ≈ 11,5.
Kun yksi panos jaetaan viidelle numerolle, panos voittaa todennäköisyydellä 0,20 ja maksaa ”36/5 for 1” eli 6,2:1: etu on yhä 44%, koska 0,2 × 7,2 = 1,44. Kellyn panokseksi tulee 0,44/6,2 = 7,10%, ja kasvu panosta kohti on 0,01404, noin 5,75-kertainen. 1 000 panoksessa se on e^14,04, noin 1,25 miljoonaa.
Etu on sama; heilahtelut ovat pienempiä. Panos, joka voittaa kerran viidestä, voi kantaa suuremman osan pelikassasta ilman vararikon riskiä, ja Kellyn kasvu palkitsee siitä. Thorp (1984) käyttää esimerkkiä näyttääkseen, miksi ennustepelaajat panostavat sektoreillepyöräSektoriPyörän yhtenäinen lokeroiden kaari, erotuksena pelikentän numeroryhmästä.Lue kokonaan →. Käytännössä viidellä naapurillapanosNaapuritNumero ja sen kummallakin puolella pyörässä olevat kaksi lokeroa, viisi pelimerkkiä numeropanoksina.Lue kokonaan → etu on hieman pienempi kuin yksittäisellä parhaalla numerolla (ks. Etupelaaminen).
Pelaaja on löytänyt kaksi vierekkäistä lokeroavälineetLokeroYksi roottorin 37 numeroidusta syvennyksestä. Myös: slot, cup.Lue kokonaan →, joiden kummankin osumatodennäköisyys on 1/25 eikä 1/37. Pitäisikö hänen panostaa niiden väliseen kahden numeron panokseen (split)panosKahden numeron panos (split)Kaksi vierekkäistä numeroa, maksaa 17:1.Lue kokonaan →, joka maksaa 17:1, vai kumpaankin numeroon numeropanoksella? Paljonko Kelly sanoo, ja kuinka nopeasti pelikassa kasvaa verrattuna yhteen tällaiseen lokeroon?
Näytä ratkaisu
Vastaus Sillä ei ole väliä: 2,59% pelikassasta kahden numeron panokseen tai 1,29% kumpaankin numeroon. Tyypillinen pelikassa kasvaa 1 000 pyöräytyksessä noin 155-kertaiseksi, kun yhdellä lokerolla se kasvaa 11,5-kertaiseksi.
Kahden numeron panos voittaa todennäköisyydellämatematiikkaTodennäköisyysLuku, joka kertoo, kuinka odotettavissa lopputulos on, välillä 0–1 tai 0%–100%. Yksi numero: 1/37 = 2,70%.Lue kokonaan → 2/25 = 0,08 ja maksaa 17:1, joten se palauttaa 18 × 0,08 = 1,44 panostettua yksikköärahaYksikköPeruspanos, jolla järjestelmä tai pelaaja toimii. Progressiot kuvataan yksikköinä, jotta ne pätevät missä tahansa pöydässä.Lue kokonaan → kohti: etu on 44%, sama kuin yhdellä vinolla lokerolla. Kellyn panos on etu jaettuna vetosuhteella: 0,44/17 = 2,59%.
Kaksi 1,29%:n numeropanosta antavat täsmälleen samat tulokset. Kun jompikumpi numero tulee, yksi pelimerkkirahaPelimerkkiKiinteää summaa edustava merkki, joka asetetaan pelikentälle panoksen tekemiseksi. Myös: cheque.Lue kokonaan → voittaa 35:1 ja toinen häviää, nettona 34 × 1,29% = 44% pelikassasta, kuten kahden numeron panos maksaa; kun kumpikaan ei tule, molemmat häviävät.
Kasvu pyöräytystä kohti on 0,00505, kun se yhdellä lokerolla on 0,00244, joten 1 000 pyöräytyksessä tyypillinen pelikassa kasvaa e^5,046 ≈ 155-kertaiseksi eikä e^2,44 ≈ 11,5-kertaiseksi. Kaksi hyvää numeroa on paljon arvokkaampi kuin kaksi kertaa yksi, ja siksi vinoumapelaajat panostavat numeroryhmiin. Thorp (1984) tekee saman vertailun.
Kevennys
Kasvun kannalta optimaalinen ruletin panos on luku, jonka jokainen jo tietää.
Lähteet
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”