Putkien todennäköisyys
Pitkät saman värin sarjat ovat yleisiä. Ne ovat myös merkityksettömiä seuraavan pyöräytyksen kannalta.
Viisi punaista peräkkäin: 2,7%. Kymmenen: 0,074%. 200 pyöräytyksen pelikerralla kuuden saman värin sarja esiintyy useammin kuin ei.
Kuinka usein tappioputki tulee
Yksinkertainen panos (1:1) häviää yhden nollan pyörällä 19 pyöräytystä 37:stä. Jokainen rivi kertoo todennäköisyyden sille, että tietty määrä peräkkäisiä pyöräytyksiä häviää kaikki, ja sen, paljonko jokaisen tappion jälkeen panoksensa kaksinkertaistava Martingale-pelaaja on siihen mennessä hävinnyt.
| tappioita peräkkäin | todennäköisyys | noin 1 näin monesta | hävitty tähän asti | seuraava panos |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1 023 | $1 024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2 047 | $2 048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4 095 | $4 096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8 191 | $8 192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Todennäköisyys on 19/37 kerrottuna itsellään kerran jokaista tappiota kohti, ja se lasketaan yhdestä tietystä pyöräytyksestä alkaen. Pitkässä pelikerrassa on monta pyöräytystä, joista tällainen putki voi alkaa, joten illan mittaan se on paljon todennäköisempi kuin yksittäinen rivi antaa ymmärtää.
Yksittäinen sarja
TodennäköisyysmatematiikkaTodennäköisyysLuku, joka kertoo, kuinka odotettavissa lopputulos on, välillä 0–1 tai 0%–100%. Yksi numero: 1/37 = 2,70%.Lue kokonaan →, että seuraavat k pyöräytystä ovat kaikki punaisiapanosPunainenYksinkertainen panos (1:1) 18 punaiselle numerolle. Ranskaksi: rouge.Lue kokonaan →, on (18/37)ᵏ. Kaksi: 23,7%. Viisi: 2,7%. Kymmenen: 0,074%, noin yksi 1 350:stä. Kaksikymmentä: yksi 1,8 miljoonasta. Kaksikymmentäkuusi, Monte Carlon ennätys: yksi 137 miljoonasta. Nämä ovat tietyllä pyöräytyksellä alkavan tietyn sarjan todennäköisyyksiä, ja sitä kysymystä lähes kukaan ei todellisuudessa kysy.
Pelikerralla
Kysymys, jonka ihmiset tarkoittavat, on ”ilmestyykö jossakin pelikerrallani k:n pituinen sarja?”, ja vastaus on paljon suurempi kuin (18/37)ᵏ, koska 200 pyöräytyksen pelikerta tarjoaa lähes 200 kohtaa, joissa sarja voi alkaa. Kuuden tai useamman saman värin sarja, punaisen tai mustanpanosMustaYksinkertainen panos (1:1) 18 mustalle numerolle. Ranskaksi: noir.Lue kokonaan →, ilmestyy 200 pyöräytyksen pelikerralla noin 94% ajasta; kahdeksan tai useamman noin 47%; kymmenen tai useamman noin 14%. Jos väri nimetään etukäteen, todennäköisyydet laskevat noin 75%:iin, 27%:iin ja 7%:iin. Pelaaja, joka istuu illan, näkee pitkiä putkia joka ilta.
Miksi Martingale välittää tästä
Jokaisella negatiivisella progressiollastrategiaProgressioMikä tahansa sääntö, joka muuttaa panosta aiempien tulosten perusteella. Negatiiviset progressiot nostavat sitä tappioiden jälkeen, positiiviset voittojen jälkeen.Lue kokonaan → on sarjan pituus, joka sen rikkoo: kuusi tappiota $10 peruspanoksella ja $500 pöytärajalla, kymmenen FibonaccillastrategiaFibonacciProgressio, joka seuraa lukujonoa 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: yksi askel eteenpäin tappion jälkeen, kaksi askelta taaksepäin voiton jälkeen.Lue kokonaan →, viisi kolminkertaistettaessa tusinoillapanosTusina1–12, 13–24 tai 25–36, maksaa 2:1.Lue kokonaan →. Kuuden tappion sarjan todennäköisyys yksinkertaisilla panoksilla on (19/37)⁶ ≈ 1,8% yritystä kohti, ja 200 pyöräytyksen pelikerta sisältää ehkä 100 yritystä, joten romahdus tulee noin neljällä pelikerralla viidestä tuon pituisista. Putkien todennäköisyydet ovat syy siihen, ettei jyrkänne ole harvinainen.
Kuumat ja kylmät numerot
Sama laskenta koskee numeropanoksiapanosNumeropanos (straight up)Yksi numero, maksaa 35:1.Lue kokonaan →. 300 pyöräytyksessä odotettu lukumäärä numeroa kohti on 8,1; keskihajontamatematiikkaKeskihajontaVarianssin neliöjuuri; tuloksen tyypillinen etäisyys odotusarvosta.Lue kokonaan → on noin 2,8. Jokin numero näyttää 15 osumaa ja jokin 2 pelkästä sattumasta, joka kerta. Tulostaulu, joka korostaa ”kuumia” numeroita, korostaa normaalijakauman huippua. Laboratorio selittää, kuinka monta pyöräytystä tarvitaan, ennen kuin kuuma numeromyyttiKuuma numeroNumero, joka on viime aikoina tullut odotettua useammin. Reilussa pyörässä se ei ennusta mitään.Lue kokonaan → tarkoittaa mitään (tuhansia, yhdestä tunnistetusta pyörästä).
Riippumattomuus on koko pointti
Kymmenen punaisen sarja ei tee mustasta todennäköisempää, eikä punaisestakaan. Molempien todennäköisyys on 18/37. Sarjat ovat satunnaisten jonojen ominaisuus, ja niiden puuttuminen olisi epäilyttävää: 200 pyöräytyksen jono, jossa ei ole yli neljän sarjaa, olisi paljon vahvempi todiste peukaloinnista kuin jono, jossa on kahdentoista sarja.
Kaava
Kysymykset
26 mustaa Monte Carlossa 18. elokuuta 1913 on kuuluisa. 32 punaista peräkkäin raportoitiin amerikkalaisessa kasinossa vuonna 1943. Molemmat ovat sattuman mukaisia, kun otetaan huomioon, kuinka monta pyöräytystä kasinot ajavat.
Todennäköisyys on 18/37 kummin päin tahansa. Panosta se, mitä suunnitelmasi sanoo, tai älä mitään.
Ei. Vinouma näkyy siten, että jotkin lokerotvälineetLokeroYksi roottorin 37 numeroidusta syvennyksestä. Myös: slot, cup.Lue kokonaan → osuvat useammin tuhansien pyöräytysten aikana, ei värien sarjoina.
Laskemisen iloa
Kokeile ensin itse. Jokainen ratkaisu on piilotettu; avaa se, kun olet valmis.
Montako eurooppalaisen pyörän pyöräytystä keskimäärin tarvitaan, ennen kuin jokainen 37 numerosta on tullut vähintään kerran?
Näytä ratkaisu
Vastaus Keskimäärin noin 155 pyöräytystä; mediaani on 147.
Laske odotus yksi uusi numero kerrallaan. Ensimmäinen pyöräytys näyttää aina uuden numeron. Kun olet nähnyt 1 numeron, 36 lokeroavälineetLokeroYksi roottorin 37 numeroidusta syvennyksestä. Myös: slot, cup.Lue kokonaan → 37:stä on uusia, joten seuraava uusi numero vie keskimäärin 37/36 pyöräytystä. Kun olet nähnyt k numeroa, se vie 37/(37 − k).
Laske odotukset yhteen: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 pyöräytystä.
Suurin osa tästä kuluu loppuun. Pelkkä viimeinen numero vie keskimäärin 37 pyöräytystä ja viimeiset viisi noin 85. Amerikkalaisella pyörällä sama summa antaa noin 161. Tämä on keräilijän ongelma (coupon collector’s problem); Wizard of Odds antaa saman keskiarvon.
Kuinka monta eri numeroa voi odottaa näkevänsä 37 eurooppalaisen pyörän pyöräytyksessä, yksi pyöräytys kutakin lokeroa kohti?
Näytä ratkaisu
Vastaus Noin 23,6. Suunnilleen kolmannes numeroista, noin 13, ei tule lainkaan.
Ota yksi numero, vaikkapa 17. Jokaisella pyöräytyksellä se jää tulematta todennäköisyydellä 36/37, joten se jää pois kaikista 37 pyöräytyksestä todennäköisyydellä (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Jokaisella numerolla on sama todennäköisyys, joten keskimäärin 37 × 0,363 ≈ 13,4 numeroa puuttuu ja 37 − 13,4 ≈ 23,6 tulee, monet niistä kahdesti tai useammin.
Ruletin pelaajat kutsuvat tätä kolmannesten laiksi. Se ei ole mikään laki, pelkkää toistojen aritmetiikkaa: pyörän mittaisessa sarjassa noin kolmannes numeroista jää sivuun, reilulla pyörällä kuten millä tahansa muullakin. 38 lokerolla osuus on myös (37/38)³⁸ ≈ 0,363; suurella pyörällä se asettuu lähelle lukua 1/e ≈ 0,368.
Ystäväsi näyttää sinulle kaksi 50 värin luetteloa, punaistapanosPunainenYksinkertainen panos (1:1) 18 punaiselle numerolle. Ranskaksi: rouge.Lue kokonaan → tai mustaapanosMustaYksinkertainen panos (1:1) 18 mustalle numerolle. Ranskaksi: noir.Lue kokonaan →, joiden kummankin sanotaan tulleen pyörästä, josta nollatpyöräNollaAinoa vihreä lokero, jota mikään yksinkertainen panos, tusinapanos tai sarakepanos ei kata; talon edun lähde. Myös: yksi nolla, 0.Lue kokonaan → on jätetty pois. Toisessa väri vaihtuu 25 kertaa ja pisin sarja on kuusi. Toisessa väri vaihtuu 35 kertaa eikä yksikään sarja ole kolmea pidempi. Kumpi on keksitty?
Näytä ratkaisu
Vastaus Jälkimmäinen. Aidossa luettelossa väri vaihtuu noin 24 tai 25 kertaa. 35 vaihdon luettelo tulee vastaan noin kerran 500 luettelossa, ja luettelo, jossa yksikään sarja ei ole kolmea pidempi, noin kahdesti 100 luettelossa.
Jokainen uusi väri joko toistaa edellisen tai vaihtuu, puoliksi kumpaakin, joten 49 vaihtomahdollisuutta antaa keskimäärin 24,5 vaihtoa, suunnilleen ±3,5. Kolmekymmentäviisi on kolme tällaista askelta keskiarvon yläpuolella; reilu pyörä tuottaa niin monta vaihtoa noin kerran 500 luettelossa.
Sarjat kertovat saman tarinan. Aidossa 50 värin luettelossa on vähintään neljän sarja noin 98% kerroista, ja sen pisin sarja on useimmiten viisi tai kuusi.
Kun ihmisiä pyydetään keksimään satunnainen luettelo, he vaihtavat väriä liian usein, koska neljän tai viiden sarja näyttää heistä kuviolta. Taylor (2021) osoittaa saman paljastavan merkin opiskelijoiden keksimissä kolikonheittoluetteloissa: todellinen satunnaisuus on putkikkaampaa kuin ihmiset odottavat.
Eräässä kasinotarinoiden kirjassa kerrotaan pelaajasta, jonka numero tuli viisi kertaa peräkkäin, ja sitä kutsutaan ennätykseksi. Kuinka harvinaista se on eurooppalaisessa pyörässä? Ja kuinka usein sen pitäisi tapahtua jossakin yhden kasinon pöydässä, kun kasinossa on 20 pöytää ja jokaisessa pyöräytetään 40 kertaa tunnissa yötä päivää?
Näytä ratkaisu
Vastaus Ennalta nimetty numero viisi kertaa peräkkäin: 1/69 miljoonaa. Mikä tahansa numero vielä neljä kertaa ensimmäisen kerran jälkeen: 1/1,87 miljoonaa. Tuossa kasinossa pyöräytetään noin 7 miljoonaa kertaa vuodessa, joten viiden sarjan pitäisi nähdä siellä kolme tai neljä kertaa vuodessa.
Nimetty numero tulee jokaisella pyöräytyksellä todennäköisyydellä 1/37, joten viiden peräkkäisen todennäköisyys on (1/37)⁵ = 1/69 343 957. Kukaan ei kuitenkaan nimeä numeroa etukäteen. Mikä tahansa numero tuleekin ensin, neljän seuraavan pyöräytyksen on toistettava se: (1/37)⁴ = 1/1 874 161.
20 pöytää × 40 pyöräytystä × 24 tuntia × 365 päivää = 7 008 000 pyöräytystä vuodessa. Jokainen pyöräytys voi aloittaa sarjan, joten kasino voi odottaa 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 viiden sarjaa vuodessa.
Tällaista virallista ennätystä ei ole, eikä sitä tarvita: yhdessä pöydässä harvinainen tapahtuma on koko kasinossa rutiinia, ja tarinat kerrotaan siitä pöydästä, jossa se sattui. Goldmanin (2007) tarina sijoittuu kahden nollan pyörään, jossa luvut ovat 1/79 miljoonaa ja 1/2,09 miljoonaa.
Kevennys
Pitkät sarjat ovat sitä, miltä satunnainen näyttää.
Lähteet
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.