Vararikon riski
Todennäköisyys menettää koko pelikassasi ennen tavoitteen saavuttamista.
Yksinkertaisilla panoksilla vararikon riski noudattaa pelurin vararikon kaavaa. Kun pelikassa on $500, panokset $10 ja tavoite $600, saavutat tavoitteen noin 57% ajasta ja menetät kaiken loppuajan.
Kysymys
Sinulla on a yksikköärahaYksikköPeruspanos, jolla järjestelmä tai pelaaja toimii. Progressiot kuvataan yksikköinä, jotta ne pätevät missä tahansa pöydässä.Lue kokonaan → pelikassaarahaPelikassaPelaamiseen varattu kokonaissumma. Pelikassan hallinta on sen päättämistä, kuinka suuri osa siitä pannaan alttiiksi yhdellä panoksella ja yhdellä pelikerralla.Lue kokonaan → ja haluat saavuttaa a + b yksikköä panostaen yhden yksikön kerrallaan yksinkertaiseen panokseenpanosYksinkertainen panos (1:1)Punainen/musta, pariton/parillinen, suuri/pieni. 18 numeroa, maksaa 1:1.Lue kokonaan → (1:1), jonka voiton todennäköisyysmatematiikkaTodennäköisyysLuku, joka kertoo, kuinka odotettavissa lopputulos on, välillä 0–1 tai 0%–100%. Yksi numero: 1/37 = 2,70%.Lue kokonaan → on p = 18/37 ja tappion todennäköisyys q = 19/37. Millä todennäköisyydellä saavutat tavoitteen ennen kuin saavutat nollan? Vastauksen selvittivät Pascal, Fermat ja Huygens 1650-luvulla, ja se on yksi todennäköisyyslaskennan vanhimmista tuloksista.
Pelurin vararikon kaava
P(tavoite) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Vararikon riskimatematiikkaVararikon riskiTodennäköisyys menettää koko pelikassa ennen tavoitteen tai pyöräytysmäärän saavuttamista.Lue kokonaan → on yksi miinus tämä. Kun q/p = 19/18 ≈ 1,0556, suhde kasvaa eksponentiaalisesti yksiköiden määrän mukana, joten kaava rankaisee pieniä yksiköitä ankarasti: mitä useampi panos tavoitteen saavuttamiseen tarvitaan, sitä useammin 2,70%:n tietulli maksetaan matkalla.
Tuloksen lukeminen
Pienemmät yksiköt tekevät pahaa. $500 pelikassan kaksinkertaistaminen $10 panoksilla onnistuu 6% ajasta; yhdellä $500 panoksella se onnistuu 48,6% ajasta. Rohkea pelaaminen, harvemmat ja suuremmat panokset, maksimoi tavoitteen saavuttamisen todennäköisyyden negatiivisen odotusarvon pelissä, koska se minimoi sen, kuinka monta kertaa etua sovelletaan. Se myös maksimoi sinulle tapahtuvan varianssinmatematiikkaVarianssiMitta sille, kuinka laajalle tulokset hajoavat odotusarvon ympärille. Suuri numeropanoksessa, pieni yksinkertaisissa panoksissa.Lue kokonaan → ja päättää illan nopeasti. Lause tunnetaan nimellä ”rohkea pelaaminen on optimaalista”, ja sen todistivat Dubins ja Savage vuonna 1965.
Mistä ongelma alkoi
Kysymys on rulettia vanhempi. Vuonna 1656 Pascal antoi Fermat’lle pulman: kaksi pelaajaa heittää kolmea noppaa, ja kummallakin on aluksi 12 merkkiä; silmäluku 11 siirtää yhden merkin yhteen suuntaan, silmäluku 14 toiseen. Kumpikin ratkaisi sen, ja Huygens, joka kuuli siitä matemaatikko Pierre de Carcavin kirjeestä, julkaisi sen vuonna 1657 todennäköisyyslaskennan ensimmäisen kirjan viidentenä tehtävänä, vastauksen kera mutta ilman todistusta. Yhdentoista voi heittää 27 tavalla ja neljäntoista vain 15 tavalla, joten kukin merkki siirtyy ensimmäisen pelaajan suuntaan 9 kertaa 14:stä, ja yllä olevan kaavan mukaan, kun kummallakin on 12 merkkiä, hän voittaa kaiken noin 1 157 kertaa todennäköisemmin kuin häviää kaiken. 2,70%:n etu on paljon pienempi, mutta sama kaava näyttää, mitä se tekee monen panoksen aikana.
Todellinen rohkea panos
Huhtikuussa 2004 nuori englantilainen Ashley Revell myi lähes kaiken omistamansa, myös vaatteensa, ja vei $135 300 Las Vegasin Plaza-kasinolle. Muutaman pienen panoksen jälkeen hän pani koko summan punaisellepanosPunainenYksinkertainen panos (1:1) 18 punaiselle numerolle. Ranskaksi: rouge.Lue kokonaan →, kerran. KuulavälineetKuulaPieni kuula, joka lähetetään radalle roottorin pyörimissuuntaa vastaan. Nykyaikaiset kuulat ovat ivoriinia tai teflonia, 18–21 mm.Lue kokonaan → pysähtyi punaiseen lokeroon 7, ja hän käveli ulos mukanaan $270 600. Kahden nollanpyöräNollaAinoa vihreä lokero, jota mikään yksinkertainen panos, tusinapanos tai sarakepanos ei kata; talon edun lähde. Myös: yksi nolla, 0.Lue kokonaan → pyörässä tuon yhden pyöräytyksen todennäköisyys oli 47,37%, ja se maksoi hänelle keskimäärin $7 121, yhden panoksen 5,26%:n etu. $10 panoksiin jaettuna sama tavoite olisi ollut lähes toivoton. Rohkea pelaaminen ei tee panoksesta hyvää; se tekee siitä mahdollisimman lyhyen.
Vararikon riski ilman tavoitetta
Jos yksinkertaisesti pelaat, kunnes menetät kaiken, tai lopetat N pyöräytyksen jälkeen, kysymys muuttuu muotoon ”millä todennäköisyydellä pelikassani koskettaa nollaa N pyöräytyksen sisällä?”. Yleiselle N:lle ei ole suljettua muotoa, mutta tämän sivuston simulaattorit laskevat sen: $500 pelikassa $10 panoksella punaiselle ei lähes koskaan mene nollaan 100 pyöräytyksessä (alle 1%), menee nollaan noin 9% ajasta 500 pyöräytyksessä ja noin 95% ajasta 5 000 pyöräytyksessä. Ilman lopetussääntöä todennäköisyys lähestyy 100%:a, mikä on talon edunmatematiikkaTalon etuOsuus, jonka kasino pitää jokaisesta panoksesta keskimäärin: eurooppalaisessa ruletissa 2,70%.Lue kokonaan → pitkän aikavälin versio.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediaani −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Kuinka kauan ja kuinka paljon voitolla
Kaksi muuta klassista tulosta vastaa kysymyksiin, joita pelaajat oikeasti kysyvät. Ilman tavoitetta yksinkertaisilla panoksilla tasapanoksin pelattu pelikassa kestää eurooppalaisessa pyörässä keskimäärin 37 pyöräytystä jokaista pelikassan yksikköä kohti ja amerikkalaisessa 19, koska jokainen pyöräytys vie keskimäärin 1/37 yksikköä (amerikkalaisessa pyörässä 1/19): 100 yksikköä kestää keskimäärin 3 700 pyöräytystä, vaikka puolet tällaisista pelikerroista päättyy 3 134 pyöräytyksen sisällä (ks. Pelikerran pituus ja hinta). Ja kuinka suuri pelikassa tahansa, todennäköisyys olla eurooppalaisessa pyörässä jossain vaiheessa k yksikköä voitolla on (18/19)ᵏ. Se on 95% yhdellä yksiköllä ja 58% kymmenellä, mutta mikään pelikassa, kuinka syvä tahansa, ei nosta todennäköisyyttä olla koskaan 13 yksikköä voitolla edes puoleen; amerikkalaisessa pyörässä todennäköisyys on (9/10)ᵏ ja laskee alle puolen 7 yksikön kohdalla.
Pelikassa, jolla todennäköisyys on puolet
Käännä kysymys toisin päin: kuinka paljon sinun on tuotava mukanasi, jotta todennäköisyys voittaa tietty summa ennen kuin menetät kaiken on vähintään puolet? Pieneen voittoon ei tarvita paljon. Suuremmalle voitolle tarvittava pelikassa kasvaa jyrkästi, ja tietyn rajan jälkeen mikään pelikassa ei riitä, koska loputonkin pelikassa antaa alle puolen todennäköisyyden päästä koskaan niin paljon voitolle. Taylor (2021) sanoo saman toisin: amerikkalaisessa pyörässä, jotta todennäköisyys päästä 100 yksikköön olisi puolet, on aloitettava 94 yksiköllä ja riskeerattava 94 voittaakseen 6. Eurooppalaisessa pyörässä tarvittaisiin 88.
Käytännön opetus
Päätä, mitä yrität tehdä. Jos tavoite on tietty voitto, panosta suuria ja harvoja. Jos tavoite on pitkä ilta, panosta pieniä ja hyväksy, että etu ottaa 2,70% suuresta pelivaihdostarahaPelivaihtoPelikerran tai ajanjakson aikana panostettu kokonaissumma, uudelleen panostetut voitot mukaan lukien. Myös: handle, action.Lue kokonaan →. Jos tavoite on molemmat, jostakin on tingittävä, ja se on yleensä tavoite.
Kaava
Kysymykset
MartingalestrategiaMartingaleProgressio, joka kaksinkertaistaa panoksen jokaisen tappion jälkeen. Strategiat-osiosta näet, mitä se tekee ja mitä ei.Lue kokonaan → pienentää sitä lyhyillä pelikerroilla ja kasvattaa sitä dramaattisesti pitkillä. TasapanostusstrategiaTasapanostusSaman summan panostaminen joka pyöräytyksellä. Vertailukohta, johon jokaista progressiota verrataan.Lue kokonaan → suuremmalla yksiköllä on rehellinen tapa pienentää sitä.
Yllä oleva kaava koskee yksinkertaisia panoksia. Suuren varianssin panoksilla vararikko on todennäköisempi pienillä panoksilla ja tavoite saavutetaan epätasaisemmin; käytä laskuria.
Jokainen askel kohti tavoitetta on hieman epätodennäköisempi kuin jokainen askel kohti vararikkoa; suhde kertautuu askelten määrän yli.
Laskemisen iloa
Kokeile ensin itse. Jokainen ratkaisu on piilotettu; avaa se, kun olet valmis.
Sinulla on $100 ja haluat $1 000 panostamalla vain punaisellepanosPunainenYksinkertainen panos (1:1) 18 punaiselle numerolle. Ranskaksi: rouge.Lue kokonaan →. Suunnitelma yksi: panosta $1 kerrallaan. Suunnitelma kaksi: panosta kaikki, mitä sinulla on, kunnes ylität $500, ja sen jälkeen vain sen verran, että pääset $1 000:een. Kumpi suunnitelma on parempi, ja kuinka paljon?
Näytä ratkaisu
Vastaus Suunnitelma kaksi, selvästi. Se saavuttaa $1 000 noin 9,0% kerroista, lähellä reilun pelin 10%:a. Suunnitelma yksi onnistuu noin 7 kertaa 10²²:sta.
Reilussa pelissämatematiikkaReilu peliPeli, jossa kummallakaan osapuolella ei ole etua: jokaisen panoksen odotusarvo on nolla.Lue kokonaan → pääsisit $100:sta $1 000:een kerran kymmenestä teitpä mitä tahansa, koska rahojesi keskimääräinen arvo pysyy $100:ssa.
Talon etu vie 2,70% jokaisesta panoksesta, joten mitä vähemmän panostat yhteensä, sitä lähemmäs yhtä kymmenestä pysyt. Suunnitelma kaksi ratkaisee asian kourallisella panoksia: $100:sta tulee $200, $400, $800, ja sitten $200 riittää. Se onnistuu noin 9,0% kerroista. Suunnitelma yksi vie tuhansia panoksia ennen kuin kulku päättyy, ja talon etu, pieni jokaisessa niistä, kasautuu lähes varmaksi vararikoksi.
Tämä on Dubinsin ja Savagen tulos yksinkertaisimmassa muodossaan (Epstein, 2013): pelissä, joka suosii taloa, panosta niin paljon kuin tarvitset niin harvoin kuin pystyt.
Sinulla on $500 ja haluat $1 000, ja lopetat heti, kun sinulla on se. Valitset yhden panostyypin ja toistat sitä, kunnes se voittaa kerran tai rahat loppuvat. Mikä panostyyppi antaa parhaan todennäköisyyden?
Näytä ratkaisu
Vastaus Yksi $500 panos punaiselle: 48,6%. Jokainen suunnitelma, joka jakaa rahat pienempiin panoksiin, pärjää huonommin.
Valitse jokainen panos niin, että yksi voitto riittää: $30 numeropanoksella (straight up)panosNumeropanos (straight up)Yksi numero, maksaa 35:1.Lue kokonaan → voittaa $1 050, $60 kahden numeron panoksella (split)panosKahden numeron panos (split)Kaksi vierekkäistä numeroa, maksaa 17:1.Lue kokonaan → voittaa $1 020 ja niin edelleen. Laske sitten todennäköisyys sille, että ainakin yksi panos voittaa ennen kuin rahat loppuvat. Kuusitoista $30 numeropanosta menevät kaikki ohi todennäköisyydellä (36/37)¹⁶ = 64,5%, joten ne saavuttavat $1 000 35,5% kerroista.
Taulukko näyttää jokaisen panoksen. Punainen pärjää parhaiten, koska se pääsee perille yhdellä panoksella, joten talon etu maksetaan vain kerran, $500:sta. Kuuden numeron panos (six line)panosKuuden numeron panos (six line)Kuusi numeroa kahdella vierekkäisellä rivillä, maksaa 5:1. Ranskaksi: sixain.Lue kokonaan → tulee toisena, koska se tarvitsee vain kolme. Yksittäinen tusinapanospanosTusina1–12, 13–24 tai 25–36, maksaa 2:1.Lue kokonaan → on huonoin, todennäköisyys 12/37; vaikka sitä pelattaisiin $250 yksiköinrahaYksikköPeruspanos, jolla järjestelmä tai pelaaja toimii. Progressiot kuvataan yksikköinä, jotta ne pätevät missä tahansa pöydässä.Lue kokonaan →, kunnes sinulla on $1 000 tai enemmän, tusina pääsee perille vain 46,4% kerroista.
Bollman (2024) laatii saman taulukon amerikkalaiselle pyörälle. Hänen tusinarivillään on virhe: siinä pitäisi lukea 12/38 = 31,6%.
panospanos × panosten määrätodennäköisyys saavuttaa $1 000Numeropanos$30 × 1635,5%Kahden numeron panos$60 × 835,9%Kolmen numeron panos$90 × 534,5%Neljän numeron panos$125 × 436,7%Kuuden numeron panos$166, $166, $16841,2%Tusina$500 × 132,4%Punainen$500 × 148,6%Panostat yhden yksikön punaiselle pyöräytys toisensa jälkeen pelikassallarahaPelikassaPelaamiseen varattu kokonaissumma. Pelikassan hallinta on sen päättämistä, kuinka suuri osa siitä pannaan alttiiksi yhdellä panoksella ja yhdellä pelikerralla.Lue kokonaan →, joka ei koskaan lopu. Ensimmäisen pyöräytyksen jälkeen olet yhden yksikön voitolla tai tappiolla. Mikä on todennäköisyys, että olet vielä joskus tasan omillasi?
Näytä ratkaisu
Vastaus 36/37, 97,3%. Amerikkalaisessa pyörässä 36/38, 94,7%.
Jos ensimmäinen pyöräytys voittaa (18 kertaa 37:stä), olet yhden yksikön voitolla, ja etu painaa jokaista loputonta pelikertaa alaspäin, joten ennemmin tai myöhemmin palaat omillesi: se on varmaa. Jos se häviää (19 kertaa 37:stä), sinun on noustava yksi yksikkö, ja todennäköisyys olla koskaan yhden yksikön voitolla on 18/19 (ks. yllä oleva taulukko).
Yhteensä: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Yleisesti todennäköisyys on 1 miinus pyöräytyksen voiton ja tappion todennäköisyyksien erotus: eurooppalaisessa pyörässä 1 − 1/37, amerikkalaisessa 1 − 2/38. Pelissä, jossa ei ole nollaapyöräNollaAinoa vihreä lokero, jota mikään yksinkertainen panos, tusinapanos tai sarakepanos ei kata; talon edun lähde. Myös: yksi nolla, 0.Lue kokonaan →, erotus on nolla ja todennäköisyys 1: tilanne palaa aina tasoihin. Epstein (2013) antaa yleisen säännön.
Pascalin pulma vuodelta 1656: kaksi pelaajaa heittää kolmea noppaa, ja kummallakin on aluksi 12 merkkiä. Jokainen 11 siirtää merkin ensimmäiselle pelaajalle, jokainen 14 siirtää merkin toiselle; muut heitot eivät lasketa. Kuinka todennäköisesti ensimmäinen pelaaja voittaa kaikki 24? Entä jos panostat sen sijaan 1 yksikön punaiselle joka pyöräytyksellä ystävää vastaan, joka toimii pankkina, ja kummallakin on 12 yksikköä: kuinka todennäköisesti voitat kaikki 24?
Näytä ratkaisu
Vastaus Ensimmäinen pelaaja voittaa noin 1 157 kertaa 1 158:sta. Sinä voitat punaisella kaikki 24 yksikköä vain noin 34% ajasta.
Kolmella nopalla summan 11 saa 27 eri tavalla ja summan 14 puolestaan 15 eri tavalla, joten jokainen siirtyvä merkki menee ensimmäiselle pelaajalle 27 kertaa 42:sta eli 9 kertaa 14:stä. Kun kummallakin puolella on aluksi 12, todennäköisyys viedä kaikki on 1/(1 + r¹²), missä r on toisen puolen todennäköisyyden suhde omaasi.
Ensimmäiselle pelaajalle r = 5/9, ja (5/9)¹² ≈ 0,00086, joten todennäköisyys on noin 0,99914: vetosuhde 9¹²:5¹² eli 282 429 536 481:244 140 625, noin 1 157:1. Huygens painoi juuri nämä luvut vuonna 1657.
Punaisella r = 19/18 nollan takia, ja (19/18)¹² ≈ 1,913: todennäköisyytesi on 1/2,913 ≈ 34,3%. Kolikko antaisi 50%. Jokaisen panoksen 2,70%:n etu kasvaa kaikkien tarvittavien panosten aikana 16 prosenttiyksikön eroksi.
Kevennys
Rohkea pelaaminen on optimaalista. Se on myös nopeasti ohi.
Lähteet
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Kirje Huygensille 28. syyskuuta 1656 ongelmasta, jonka Pascal esitti Fermat’lle.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”