Suppeneminen pitkällä aikavälillä
Miten keskiarvo asettuu kohti arvoa −2,70% ja miksi se kestää pidempään kuin intuitio antaa ymmärtää.
Keskimääräinen tappio pyöräytystä kohti suppenee kohti arvoa −1/37 pyöräytysten kertyessä, ja hajonta pienenee kuin 1/√N. 1 000 punaiselle panostetun pyöräytyksen jälkeen keskiarvo on tyypillisesti ±3% sisällä odotuksestaan.
Suurten lukujen laki
Riippumattomien panosten juokseva keskiarvo lähestyy odotusarvoamatematiikkaOdotusarvoKeskimääräinen tulos panosta kohti pitkällä aikavälillä. Jokaisessa eurooppalaisen ruletin vakiopanoksessa −1/37 panoksesta.Lue kokonaan →. N yksinkertaisen panoksen (1:1) pyöräytyksen jälkeen yhden yksikönrahaYksikköPeruspanos, jolla järjestelmä tai pelaaja toimii. Progressiot kuvataan yksikköinä, jotta ne pätevät missä tahansa pöydässä.Lue kokonaan → panoksella tuloksen keskiarvolla pyöräytystä kohti on odotus −1/37 ja keskihajontamatematiikkaKeskihajontaVarianssin neliöjuuri; tuloksen tyypillinen etäisyys odotusarvosta.Lue kokonaan → 1/√N. Kun N = 100, tuo hajonta on 10% panoksesta, lähes nelinkertainen signaaliin (2,7%) nähden. Kun N = 1 000, se on 3,2%, suunnilleen sama kuin signaali. Kun N = 10 000, se on 1% ja etu näkyy selvästi. Etu on näkymätön yhdellä pelikerralla ja erehtymätön vuodessa.
Mikä suppenee ja mikä ei
Keskiarvo pyöräytystä kohti suppenee. Kokonaissumma ei: se ajautuu yhä kauemmas nollasta N:n kasvaessa, odotuksena noin 2,7% N:stä, ja sen ympärillä hajonta on √N. Pelaajan, joka on pelannut 10 000 pyöräytystä $10 panoksella, odotetaan olevan $2 700 tappiolla, noin $1 000 suuntaan tai toiseen. PunaistenpanosPunainenYksinkertainen panos (1:1) 18 punaiselle numerolle. Ranskaksi: rouge.Lue kokonaan → juokseva osuus on jo kauan sitten asettunut lähelle arvoa 48,65%; juokseva saldo ei ole asettunut mihinkään.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediaani −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Miksi intuitio pettää
Ihmiset odottavat edun näkyvän nopeasti, koska 2,70% kuulostaa suurelta, ja odottavat pitkien jaksojen ”tasoittuvan”, koska suurten lukujen lakimatematiikkaSuurten lukujen lakiRiippumattomien tulosten keskiarvo suppenee kohti odotusarvoa, kun toistojen määrä kasvaa.Lue kokonaan → sanoo keskiarvojen suppenevan. Molemmat intuitiot arvioivat mittakaavan väärin: etu on pieni yhden pyöräytyksen varianssiinmatematiikkaVarianssiMitta sille, kuinka laajalle tulokset hajoavat odotusarvon ympärille. Suuri numeropanoksessa, pieni yksinkertaisissa panoksissa.Lue kokonaan → nähden (σ = 1 yksikkö, kun EV = 0,027), joten kestää (1/0,027)² ≈ 1 400 pyöräytystä, ennen kuin se näkyy yhden sigman verran. Eikä keskiarvon suppeneminen vedä kokonaissummaa takaisin; se vain laimentaa aiemmat vaihtelut.
Suppeneminen muilla panoksilla
NumeropanoksillapanosNumeropanos (straight up)Yksi numero, maksaa 35:1.Lue kokonaan → σ = 5,84, joten sama laskelma antaa (5,84/0,027)² ≈ 47 000 pyöräytystä, ennen kuin etu yltää yhteen sigmaan. Numeropanoksia pelaava pelaaja voi pelata vuosia niin, ettei etua voi erottaa onnesta hänen omista tiedoistaan, ja maksaa silti täsmälleen saman 2,70% kuin punaista pelaava, joka näkee sen viikoissa.
Seuraus järjestelmien testaamiselle
Kenen tahansa, joka väittää järjestelmän toimivan, pitäisi pystyä näyttämään se 10 000 tai useamman pyöräytyksen yli dokumentoidulla positiivisella keskiarvolla. 1 000 pyöräytyksellä positiivinen keskiarvo yksinkertaisilla panoksilla tapahtuu nollahypoteesin vallitessa noin yhdessä tapauksessa viidestä; 100 pyöräytyksellä se on lähes kolikonheitto. Tämän sivuston simulaattorit ajavat 2 000 valitsemasi pituista pelikertaa sekunnissa, mikä on enemmän todistusaineistoa kuin yksikään kokemustarina.
Kaava
Kysymykset
TodennäköisyysmatematiikkaTodennäköisyysLuku, joka kertoo, kuinka odotettavissa lopputulos on, välillä 0–1 tai 0%–100%. Yksi numero: 1/37 = 2,70%.Lue kokonaan → olla koskaan taas voitolla lähestyy nollaa pelatessasi. Kokonaissumma ajautuu alaspäin ilman rajaa.
Ei. Se tarkoittaa, että aiemmista vaihteluista tulee pienempi osa suurempaa otosta.
Yksinkertaisilla panoksilla noin 10 000, ennen kuin etu näkyy selvästi. Numeropanoksilla noin 50 000.
Laskemisen iloa
Kokeile ensin itse. Jokainen ratkaisu on piilotettu; avaa se, kun olet valmis.
Kaksi ystävää pelaa 20 kierrosta reilua peliämatematiikkaReilu peliPeli, jossa kummallakaan osapuolella ei ole etua: jokaisen panoksen odotusarvo on nolla.Lue kokonaan →, kolikonheittoa tai punaistapanosPunainenYksinkertainen panos (1:1) 18 punaiselle numerolle. Ranskaksi: rouge.Lue kokonaan → mustaapanosMustaYksinkertainen panos (1:1) 18 mustalle numerolle. Ranskaksi: noir.Lue kokonaan → vastaan niin, että nollillapyöräNollaAinoa vihreä lokero, jota mikään yksinkertainen panos, tusinapanos tai sarakepanos ei kata; talon edun lähde. Myös: yksi nolla, 0.Lue kokonaan → panokset palautetaan, ja pitää juoksevaa pistetilannetta. Laske kierrokset, joiden aikana kumpikin on johdossa (tasatilanne lasketaan sille, joka johti juuri ennen sitä). Kumpi on todennäköisempää: että johto jakautuu 10 kierrosta 10 kierrokseen vai että toinen ystävä johtaa kaikki 20?
Näytä ratkaisu
Vastaus Se, että toinen ystävä johtaa kaikki 20 kierrosta, on paljon todennäköisempää: 35,2% kumpi tahansa ystävä laskien, kun tasan 10–10 on 6,1%.
Todennäköisyys sille, että reilu juokseva pistetilanne on tasan 2k kierroksen jälkeen, on u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 10 kierroksen jälkeen ja 0,176 20 kierroksen jälkeen. Klassinen tulos, arkussinilaki, sanoo, että todennäköisyys sille, että nimetty ystävä johtaa täsmälleen 2k kierrosta 2n:stä, on u(2k) × u(2n − 2k).
Johto kaikki 20 kierrosta: u(20) × u(0) = 0,176 kummallekin ystävälle, 35,2% kummalle tahansa. Tasainen jako: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, kaikista jakaumista epätodennäköisin.
Reilussa pelissä johto siis vaihtaa omistajaa harvoin. Pelaaja, joka on ollut voitolla koko illan tai tappiolla koko illan, ei ole nähnyt mitään epätavallista, eikä se kerro mitään pyörästä eikä taidosta. Epstein (2013) antaa saman lain pidemmille peleille: puolet ajasta onnekkaampi osapuoli johtaa yli 85% pelistä.
Kevennys
Keskiarvo suppenee. Kokonaissumma vain lähtee.
Lähteet
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.