Tehtävä: syntymäpäiväpyörä
Montako pyöräytystä kuluu, ennen kuin jokin numero toistuu? Paljon vähemmän kuin useimmat arvaavat.
Syntymäpäiväongelma 37 lokeronvälineetLokeroYksi roottorin 37 numeroidusta syvennyksestä. Myös: slot, cup.Lue kokonaan → pyörällä: jo 8 pyöräytyksen jälkeen on todennäköisempää kuin ei, että jokin numero on jo tullut kahdesti. Pelaajat tulkitsevat toistot kuvioiksi; ne ovat reilun pyörän odotettua käyttäytymistä.
Tehtävä
Pyöräytä reilua eurooppalaista pyörää. Montako pyöräytystä kuluu, ennen kuin todennäköisyysmatematiikkaTodennäköisyysLuku, joka kertoo, kuinka odotettavissa lopputulos on, välillä 0–1 tai 0%–100%. Yksi numero: 1/37 = 2,70%.Lue kokonaan → sille, että vähintään kaksi pyöräytystä on näyttänyt saman numeron, ylittää yhden puolikkaan? Useimmat pelaajat arvaavat jotain 18:n tai 19:n tienoille, puolet 37:stä. Vastaus on 8.
Ratkaisu
Laske todennäköisyys, ettei toistoa tule, ja vähennä se ykkösestä. k pyöräytyksen jälkeen p(kaikki eri) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Kun k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, joten p(jokin toisto) ≈ 0,56. Kun k = 14, se on 0,93; kun k = 20, se on 0,996. Intuitio pettää, koska pyöräytysparien määrä kasvaa kuten k², ja mikä tahansa pari voi osua yhteen.
Miksi sillä on merkitystä pöydässä
Tulostaulu, jossa on viimeiset 20 numeroa, näyttää lähes aina vähintään yhden toiston, usein kaksi tai kolme. Pelaajat näkevät ”17 tuli kahdesti kymmenessä pyöräytyksessä” ja päättelevät, että 17 on kuuma; syntymäpäivälaskelma sanoo, että toisto kymmenen pyöräytyksen sisällä tapahtuu 74% ajasta ja toistuva numero on satunnainen. Kuvio on todellinen; sen merkitys ei ole.
Jatkotehtävä
Montako pyöräytystä kuluu, ennen kuin tietty numero, vaikkapa 17, on tullut kahdesti? Se on eri kysymys, jonka vastaus on paljon suurempi: odotettu aika on 74 pyöräytystä, ja todennäköisyys kahdelle 17:lle 20 pyöräytyksen sisällä on noin 10%. Ero sen välillä, että ”jokin numero toistuu” (8 pyöräytystä) ja ”tämä numero toistuu” (74 pyöräytystä), on koko ero jälkikäteen huomaamasi kuvion ja etukäteen tekemäsi ennusteen välillä.
Kokeile
Pyöräytä Demopeliä kymmenen kertaa ja katso historiaa. Siellä on yleensä toisto. Tee se uudelleen. Toistuva numero on eri. Tee tämä kymmenen kertaa, niin olet nähnyt syntymäpäiväongelmanmatematiikkaSyntymäpäiväongelmaKuinka monta ihmistä tarvitaan, ennen kuin kahdella on todennäköisesti sama syntymäpäivä, tai kuinka monta pyöräytystä, ennen kuin jokin numero todennäköisesti toistuu. 37 lokeron pyörällä 8 pyöräytystä riittää siihen, että todennäköisyys on yli puolet.Lue kokonaan →; tee se tuhat kertaa (simulaattorit osaavat), niin olet mitannut sen.
Kaava
Kysymykset
Täsmälleen, 37 lokerolla 365 päivän sijaan. 23 ihmistä antaa 50% syntymäpäiville; 8 pyöräytystä antaa 56% pyörälle.
50% noin 19 pyöräytyksen jälkeen. Edelleen rutiinia.
Ei. Tuhannet pyöräytykset yhdestä pyörästä viittaisivat; toisto ei koskaan.
Laskemisen iloa
Kokeile ensin itse. Jokainen ratkaisu on piilotettu; avaa se, kun olet valmis.
Amerikkalaisen pyörän vieressä oleva tulostaulu näyttää 16 viimeisintä pyöräytystä. Kuinka todennäköistä on, ettei mikään numero esiinny siinä kahdesti?
Näytä ratkaisu
Vastaus Noin 2,5%: suunnilleen 39 taulua 40:stä näyttää ainakin yhden toiston.
Käy läpi pyöräytys kerrallaan. Ensimmäinen pyöräytys voi olla mitä tahansa. Toisen on vältettävä se: 37 mahdollisuutta 38:sta. Kolmannen on vältettävä molemmat: 36/38. Kuudennentoista on vältettävä viisitoista numeroa: 23/38.
Kerro: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Taulu ilman toistoa on se harvinainen. Taulu, jossa on toisto, ei kerro pyörästä mitään.
Mikä on eurooppalaisen pyörän kymmenessä pyöräytyksessä todennäköisyys, että 17 tulee tasan viisi kertaa? Että jokin numero, mikä tahansa, tulee viisi kertaa tai useammin? Entä että jokin numero tulee vähintään kolme kertaa neljässä pyöräytyksessä?
Näytä ratkaisu
Vastaus 17 tasan viisi kertaa: 1/315 576. Jokin numero viisi kertaa tai useammin: noin 1/8 333. Jokin numero kolme kertaa tai useammin neljässä pyöräytyksessä: 1/349.
17 viisi kertaa: valitaan, mitkä viisi kymmenestä pyöräytyksestä, 252 tapaa, kukin todennäköisyydellä (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Yhteensä 1/315 576.
Jokin numero: kullakin 37 numerolla on todennäköisyys 1/308 325 saada viisi osumaa tai enemmän, mikä antaa 37/308 325 eli 1/8 333. Harvinainen tapaus, jossa kaksi numeroa saa kumpikin viisi osumaa, lasketaan kahdesti, mutta sen poistaminen ei muuta mitään tällä tarkkuudella.
Kolme kertaa neljässä pyöräytyksessä: yhdelle numerolle 4 × 36 + 1 = 145 tulosta 37⁴ mahdollisesta; mille tahansa 37 numerosta 145/37³ = 1/349.
Wizard of Odds vastasi näiden kysymysten kahden nollanpyöräNollaAinoa vihreä lokero, jota mikään yksinkertainen panos, tusinapanos tai sarakepanos ei kata; talon edun lähde. Myös: yksi nolla, 0.Lue kokonaan → versioihin; meidän lukumme sille pyörälle ovat 1/359 275, 1/9 243 ja 1/368. Ero ”17:n” ja ”jonkin numeron” välillä on taas syntymäpäiväongelmamatematiikkaSyntymäpäiväongelmaKuinka monta ihmistä tarvitaan, ennen kuin kahdella on todennäköisesti sama syntymäpäivä, tai kuinka monta pyöräytystä, ennen kuin jokin numero todennäköisesti toistuu. 37 lokeron pyörällä 8 pyöräytystä riittää siihen, että todennäköisyys on yli puolet.Lue kokonaan →: yllättyä voi 37 tavalla.
Kevennys
Jokin toistuu aikaisin. Se jokin on satunnainen.
Lähteet
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, kysymyksiä ruletista.