Tehtävä: pöytäraja
$10 Martingale $500 pöydässä. Kuinka usein se katkeaa, kuinka paljon se menettää katketessaan, ja auttaako rajan nostaminen?
Kuusi tappiota peräkkäin katkaisee sen: 1,8% sykliä kohti, noin 60% 100 pyöräytyksen pelikerroista. Katkeaminen maksaa $630. Rajan nostaminen tasolle $5 000 tekee katkeamisesta harvinaisemman (0,25% sykliä kohti) ja suuremman ($5 110). Odotettu tappio panostettua dollaria kohti on 2,70% millä tahansa rajalla.
Tehtävä
Pelaaja panostaa $10 punaisellepanosPunainenYksinkertainen panos (1:1) 18 punaiselle numerolle. Ranskaksi: rouge.Lue kokonaan → ja tuplaa jokaisen tappion jälkeen, palaten alkuun voiton jälkeen. Pöydän enimmäispanos on $500. (a) Montako peräkkäistä tappiota katkaisee progressionstrategiaProgressioMikä tahansa sääntö, joka muuttaa panosta aiempien tulosten perusteella. Negatiiviset progressiot nostavat sitä tappioiden jälkeen, positiiviset voittojen jälkeen.Lue kokonaan →? (b) Mikä on todennäköisyysmatematiikkaTodennäköisyysLuku, joka kertoo, kuinka odotettavissa lopputulos on, välillä 0–1 tai 0%–100%. Yksi numero: 1/37 = 2,70%.Lue kokonaan → sykliä kohti? (c) Paljonko menetetään katketessa? (d) Miten $5 000 raja muuttaa vastaukset? (e) Tekeekö mikään raja järjestelmästä kannattavan?
Ratkaisut (a)–(c)
Panokset: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Seitsemäs olisi 640 > 500, joten kuusi tappiota katkaisee sen. (b) p(tappio) = 19/37 punaiselle; (19/37)⁶ = 0,0183, noin 1,8% sykliä kohti. Sykli kestää keskimäärin noin kaksi pyöräytystä, joten 100 pyöräytyksen pelikerralla on noin 50 sykliä ja p(vähintään yksi katkeaminen) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, mikä on 63 peruspanosyksikköärahaYksikköPeruspanos, jolla järjestelmä tai pelaaja toimii. Progressiot kuvataan yksikköinä, jotta ne pätevät missä tahansa pöydässä.Lue kokonaan →, kun sykli yritti voittaa $10.
Ratkaisu (d)
Rajalla $5 000: panokset 2 560:een asti sallitaan; kymmenes panos, 5 120, evätään. Yhdeksän tappiota katkaisee: (19/37)⁹ ≈ 0,25% sykliä kohti, noin 11% 100 pyöräytyksen pelikerroista. Tappio katketessa: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Pelaaja on ostanut harvinaisemman katastrofin suuremman hinnalla. Monen pelikerran aikana katkeamisten odotettu hinta on p × tappio ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 sykliä kohti $500 rajalla ja 0,0025 × 5 110 = $12,8 rajalla $5 000; se on pyöristysvirheen rajoissa sama luku, ja se on syklin odotettu tappiomatematiikkaOdotettu tappioOdotusarvo kerrottuna panostetulla kokonaissummalla; keskimäärin hävitty summa pelikerran tai ajanjakson aikana.Lue kokonaan → vähennettynä voittavien syklien tuottamalla $10.
Ratkaisu (e)
Ei. Odotettu tappio sykliä kohti = (syklin odotettu kokonaispanos) / 37 millä tahansa rajalla, koska jokainen panos on −1/37 itsestään. Raja vain ratkaisee, miten tappio jakautuu monen pienen voiton ja harvojen suurten tappioiden kesken. Ilman rajaa ja äärettömällä pelikassallarahaPelikassaPelaamiseen varattu kokonaissumma. Pelikassan hallinta on sen päättämistä, kuinka suuri osa siitä pannaan alttiiksi yhdellä panoksella ja yhdellä pelikerralla.Lue kokonaan → progressio ”toimisi” siinä mielessä, ettei se koskaan katkeaisi, ja se panostaisi myös rajattoman summan, jonka odotettu tappio on 2,70% tästä rajattomasta summasta. PöytärajapöytäPöytärajaSallittu vähimmäis- ja enimmäispanos. Enimmäispanos on se, mikä pysäyttää tuplaavat progressiot.Lue kokonaan → ei ole se, mikä estää MartingaleastrategiaMartingaleProgressio, joka kaksinkertaistaa panoksen jokaisen tappion jälkeen. Strategiat-osiosta näet, mitä se tekee ja mitä ei.Lue kokonaan → toimimasta. Sen estää laskutoimitus.
Kaksi todellista pöytää
Thorpin esimerkki on $1 pöytä, jonka enimmäispanos on $1 000 ja jossa pelaaja toivoo voittavansa $30 illalliseen dollari kerrallaan. Panokset 1, 2, 4 … 512 sallivat kymmenen panosta, joten kymmenen peräkkäistä tappiota katkaisee progression: kerran 785 syklissä eurooppalaisessa pyörässä (kerran 613 syklissä amerikkalaisessa), ja se maksaa $1 023. Kaikki kolmekymmentä sykliä onnistuvat 96,2% ajasta. Lopuissa tapauksissa (3,8%) menetetään noin $1 000, ja illan keskimääräinen tulos on −$9,17, mikä on tasan 1/37 summasta $339, jonka kolmekymmentä sykliä keskimäärin panostavat. $5 pöytä, jonka enimmäispanos on $2 000, ei ole yhtään erilainen: panokset aina $1 280 asti sallivat yhdeksän panosta, ja katkeaminen tulee kerran 403 syklissä eurooppalaisessa pyörässä (kerran 323 syklissä amerikkalaisessa) ja maksaa $2 555.
Rikas pelaaja
Anna progressiolle syvä pelikassa matalan rajan sijaan: 1 000 yksikköä, yhden yksikön peruspanos ja 1 000 pyöräytystä punaisella, ja aloita taas yhdestä yksiköstä aina, kun seuraava tuplaus olisi suurempi kuin jäljellä oleva summa. Simuloimme miljoona tällaista iltaa. Eurooppalaisessa pyörässä 52% päättyy voitolle, 21% menettää kaiken, ja keskimääräinen tulos on −124 yksikköä. Jopa pelissä ilman nollaapyöräNollaAinoa vihreä lokero, jota mikään yksinkertainen panos, tusinapanos tai sarakepanos ei kata; talon edun lähde. Myös: yksi nolla, 0.Lue kokonaan →, jossa jokainen panos on reilu, vain noin 60% päättyisi voitolle. Tavallinen ilta on pieni voitto; keskiarvon maksavat illat, jotka päättyvät nollaan.
Opetus
Kasinot asettavat rajat rajoittaakseen omaa varianssiaanmatematiikkaVarianssiMitta sille, kuinka laajalle tulokset hajoavat odotusarvon ympärille. Suuri numeropanoksessa, pieni yksinkertaisissa panoksissa.Lue kokonaan →, eivät kukistaakseen järjestelmiä. Martingalen kukistaminen on sivuvaikutus, josta ne ovat iloisia, ja laskutoimitus kukistaisi sen joka tapauksessa. Pelaaja, joka luulee rajan olevan ongelma, on löytänyt jyrkänteen ja erehtynyt pitämään sitä rinteenä.
Kaava
Kysymykset
Se antaa sinun selvitä korkeammalle rajalle, jolla katkeaminen on harvinaisempi ja suurempi. Odotettu tappio dollaria kohti ei muutu.
Panokset 10, 30, 70, 150, 310: $500 raja saavutetaan viiden tappion jälkeen, ja katkeaminen maksaa $570. Sama 2,70%.
Jotta yksi pelaaja ei voi panostaa enempää kuin kasinon varanto kykenee mukavasti maksamaan. Varianssin hallintaa.
Laskemisen iloa
Kokeile ensin itse. Jokainen ratkaisu on piilotettu; avaa se, kun olet valmis.
MartingalestrategiaMartingaleProgressio, joka kaksinkertaistaa panoksen jokaisen tappion jälkeen. Strategiat-osiosta näet, mitä se tekee ja mitä ei.Lue kokonaan → alkaa $100 panoksella punaisellepanosPunainenYksinkertainen panos (1:1) 18 punaiselle numerolle. Ranskaksi: rouge.Lue kokonaan → ja sallii itselleen enintään n panosta sykliä kohti: n peräkkäisen tappion jälkeen se luovuttaa ja aloittaa alusta. Kirjoita yhden syklin keskimääräinen tulos kaavana, jossa on n, ja laske se 5, 6 ja 7 panokselle eurooppalaisessa pyörässä.
Näytä ratkaisu
Vastaus Keskiarvo on 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 panoksella −$14,26, 6 panoksella −$17,35 ja 7 panoksella −$20,52. Useamman panoksen salliminen tekee keskimääräisestä syklistä huonomman, ei paremman.
Sykli voittaa $100, elleivät kaikki n panosta häviä, mikä tapahtuu todennäköisyydellä qⁿ, missä q = 19/37. Kun kaikki häviävät, panokset 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ ovat yhteensä 100 × (2ⁿ − 1). Keskiarvo on siis 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Tässä 2q = 38/37, hieman yli 1, joten (2q)ⁿ kasvaa n:n mukana ja keskiarvo laskee: n = 5 antaa 1,1426 ja −$14,26; n = 6 antaa 1,1735 ja −$17,35; n = 7 antaa 1,2052 ja −$20,52. Pidemmät tikapuut häviävät harvemmin, 3,6%, 1,8% ja 0,9% sykleistä, mutta jokainen tappio on kaksi kertaa suurempi, ja jokaisessa syklissä pöydän yli kulkee enemmän rahaa, 2,70% jokaisesta panoksesta.
Amerikkalaisessa pyörässä 2q = 40/38 ja luvut ovat −$29,24, −$36,04 ja −$43,20 (Taylor, 2021). Pelissä, jossa ei ole nollaapyöräNollaAinoa vihreä lokero, jota mikään yksinkertainen panos, tusinapanos tai sarakepanos ei kata; talon edun lähde. Myös: yksi nolla, 0.Lue kokonaan →, 2q = 1, ja jokaisen syklin keskiarvo on tasan nolla, olivatpa tikapuut kuinka pitkät tahansa.
”Suuri Martingale” kaksinkertaistaa panoksen tappion jälkeen ja lisää yhden yksikönrahaYksikköPeruspanos, jolla järjestelmä tai pelaaja toimii. Progressiot kuvataan yksikköinä, jotta ne pätevät missä tahansa pöydässä.Lue kokonaan →, joten panokset ovat 1, 3, 7, 15, 31 … Paljonko olet voitolla, kun ensimmäinen voitto tulee 1., 2., 3. tai k:nnella panoksella? Kun yksikkö on $10 ja enimmäispanos $500, kuinka usein sykli katkeaa, ja mitä sykli maksaa keskimäärin?
Näytä ratkaisu
Vastaus Voitto k:nnella panoksella jättää sinut k yksikköä voitolle: +1, +2, +3 ja niin edelleen. Yksiköllä $10 ja enimmäispanoksella $500 sykli katkeaa viiden tappion jälkeen, 3,57% sykleistä, tuloksella −$570. Keskimäärin sykli häviää $2,32, kun panostettu summa on $85,73: 2,70%.
k:s panos on 2ᵏ − 1 yksikköä: 1, 3, 7, 15, 31. Ensimmäiset k − 1 panosta ovat yhteensä 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Voitto k:nnella panoksella maksaa 2ᵏ − 1, joten sykli päättyy (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k yksikköä voitolle: yksi ylimääräinen yksikkö jokaisesta voittoa edeltäneestä tappiosta.
Kun yksikkö on $10, panokset ovat $10, $30, $70, $150 ja $310; seuraava, $630, ylittää $500 enimmäispanoksen. Viisi peräkkäistä tappiota, (19/37)⁵ = 3,57%, maksavat 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Keskiarvo: voitot tuovat $10 × k todennäköisyydellä (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37, kun k = 1–5, ja katkeaminen vie $570 todennäköisyydellä 3,57%; yhteensä −$2,32. Panostettu raha on keskimäärin $85,73 sykliä kohti, ja 2,32/85,73 = 2,70%. Tavallinen Martingale samassa pöydässä katkeaa kuuden tappion jälkeen, 1,83% sykleistä, tuloksella −$630, ja häviää $1,74, kun panostettu summa on $64,20: jälleen 2,70%.
Pelaaja suunnittelee Martingalea punaiselle: ensimmäinen panos on $1 pöydässä, jonka raja on $1 000, joten kymmenen panosta on mahdollista: $1, $2, $4 ja niin edelleen, viimeisenä $512. Kuinka usein sykli häviää kaikki kymmenen, kuinka kauan siihen keskimäärin kuluu, ja kuinka usein 200 panoksen ilta päättyy näin?
Näytä ratkaisu
Vastaus Sykli häviää kaikki kymmenen noin kerran 784 syklissä, ja se maksaa $1 023. Siihen kuluu keskimäärin noin 1 600 panosta, ja 200 panoksen ilta törmää seinään noin 11% todennäköisyydellä. Sykli häviää silti keskimäärin $0,31, kun panostettu summa on $11,31: 2,70%.
Panos punaiselle häviää todennäköisyydellä 19/37, nolla mukaan lukien. Kymmenen peräkkäin: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, noin 1/784. Panokset 1 + 2 + 4 + … + 512 ovat yhteensä $1 023.
Sykli kestää keskimäärin 2,05 panosta, joten 784 sykliä kestää noin 1 600 panosta. Pyöräytys kerrallaan laskettuna kymmenen tappion putki osuu jonnekin 200 panoksen joukkoon 11,3% todennäköisyydellä.
Katastrofien välillä pelaaja voittaa $1 sykliä kohti: noin $783 ennen huonoa sykliä, sitten −$1 023, koko jaksolla noin −$240. Sykliä kohti: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Panostettu raha sykliä kohti: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Ja −0,31/11,31 = −2,70%.
Vertaa: ensimmäinen panos $10 ja raja $500, kuusi panosta: seinä tulee vastaan kerran 55 syklissä, ja 200 panoksen ilta kohtaa sen 84% todennäköisyydellä. Korkeampi pöytäraja tekee romahduksesta harvinaisemman ja suuremman, ei halvemman.
Kevennys
Harvinaisempi ja suurempi, jokaisella rajalla. Tulo on vakio.
Lähteet
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.